Линейна алгебра 1
при което А, В и С - матрицата, и # 945; и # 946; - номер.
Относно: начално матрица
Елементен матрица са:
1. пермутация поставя две успоредни редици от матрицата
2. размножаването на всички елементи на множество матрици на броя ненулева
3. Добавянето на всички елементи на редица елементи на матрицата в съответствие успоредни редици, умножена по същия брой
Две матрици А и В се нарича еквивалент. ако един от тях се получава от друга посредством елементарен трансформации А
Б. Използване елементарни трансформации всяка матрица може да бъде намален до матрица, от която в началото на основния диагонал ред е няколко единици, и всички други елементи са равни на нула, като матрица, се нарича каноничен.
Квадратна матрица от ред п да сравните броя Det А или | A |, # 916; от латинската дума определи - определи, наречен определящ фактор. В детерминанта се изчислява както следва:
1. с п = 1, детерминантата на матрицата А = (AN)
2. Когато п = 2, матрицата
3. когато п = 3, матрицата
Правило триъгълник - Sarryusa който изведе за кратко
Относно: свойства на детерминанти
1. еквивалентността на редовете и колоните
Определящо не се променя, ако ние замени линия колони и обратно. В бъдеще, редовете и колоните на детерминанта просто по-долу редове на детерминантата.
2. Когато се движи на две успоредни редици от знака на промените определящите
3. детерминанта като две идентични брой е нула
4. Общият фактор елементи, всеки брой на детерминантата може да се показва извън определящ
От свойства 3 и 4, че ако всички елементи на редица пропорционална на съответния брой паралелни елементи, като детерминанта е нула.
5. Ако елементите на редица детерминанта е сума от два мандата, определящ фактор може да се разделят на сумата на двата съответни детерминанти
6. елементарен преобразуване на фактор на детерминанта не се промени, ако елементите на един ред за добавяне на подходящ брой от паралелни елементи се умножават по произволен брой
Мала. елемент Aij детерминанта п-ти ред, наречен N-1 реда на фактор, получен от оригинала чрез изтриване на ред и колона на кръстовище, който е избран елемент. Означени с MIJ.
Кофактор на определящ елемент Aij се нарича минор, взето със знак плюс, ако сумата от I + J - и четен брой със знак минус, ако тази сума е странно.
7. Разширяване на определящ фактор за редица елементи
Детерминанта е равна на сумата от продукти на редица елементи на съответните им кофактори (функция 7 включва метод за изчисляване на високо детерминанта ред).
8. сума на продуктите на елементите на всеки от редица детерминанта на кофактори, съответния брой паралелни елементи е нула
Относно: не-единствено число матрица
Нека А е квадратна матрица на п-тия ред
Квадратна матрица А, наречен не-дегенеративен. ако нейната детерминанта е нула (# 916 = Det А ≠ 0), ако детерминанта е нула (# 916 = 0), тогава матрицата е единствено число.
матрица съюз за матрицата се нарича матрица,
където Aij - кофактор на тази матрица Aij елемент. Също така е дефинирана като кофактор на детерминанта елемент.
матрицата на -1. нарича обратна на матрицата, ако условие А * A -1 = E нищо А = А -1 * E, където Е - матрицата на идентичност на същата последователност като матрица А, -1 - обратна матрица има със същия размер като на матрицата А.
Всяко не-единствено матрица има обратен
Свойствата на инверсната матрица:
3) (А-1) Т = (Т) -1
Разглеждане на матрицата на размер m * п
я разпределят на ред и колона. По този начин, за да ≤ минути (m, п) на елементите, стоящи в пресечната точка, избраните редовете и колоните, за да се образува детерминантата на ред. Всички тези идентификатори се наричат непълнолетни лица на тази матрица, ние отбелязваме, че такива непълнолетни лица могат да направят този номер:
, . Когато броят на комбинациите от п елементи, взети за най-голямата от нарежданията на непълнолетни на тази матрица са различни от нула, се нарича ранга на матрицата и е обозначен с:
Очевидно е, 0 ≤ R ≤ минути (m, п). Мала по поръчка определя ранга на матрицата, наречена база. В матрицата може да бъде няколко базисни непълнолетни.
Намери ранг на матрица A.
Всички непълнолетни лица от трети ред са равни на нула, има малка 2-ри ред, различен от нула.
Основна Мала в пресечната точка на 2 и 3 линии 1 и 3 колони.
1. при транспонирането на матрицата не се променя нейното място в класацията
2. ако броят на изтриване от матрицата нула, ранга на матрицата не се променя
3. ранга на матрицата не се променя от елементарни матрица
Място каноничен матрица е равен на броя на единиците в главния диагонал. Това се основава на начин за изчисляване на ранг на матрица.
Относно: система от линейни уравнения
Една система от линейни алгебрични уравнения. съдържа м уравнения и п неизвестни нарича система на формата:
, Те призоваха коефициентите на системата. и два пъти - свободни условия. подлежи на определяне на хп. Такава система може лесно да бъде написано в компактна форма матрица: (*) A * х = В, където А - матрица на коефициентите.
, Тя се нарича ядро матрица.
х - е векторът колона на неизвестни х к
Б - колона вектор на свободната BI
AH матрица на продукта се определя като А колона в матрицата колкото редове в X матрица, т.е. п парчета.
Разширена система матрица. Това е матрицата # 256; допълнен колона на свободни термини
решение на системата. п неизвестни наречени стойности x1 = С1. Х2 = С2. ... Xn = CN. При замяна, където всички уравнения се прилагат за правото на равенство. Всеки разтвор система може да се запише като колона на матрицата:
Системата, наречена на ставата. ако има поне едно решение, и непоследователна. ако то не разполага с повече от едно решение. Системата за свързване се нарича определен. ако той има уникално решение и несигурно. ако има повече от едно решение. В последния случай, всеки от своя разтвор се нарича специално решение на системата. Съвкупността от всички частични решения се нарича общо решение. Решете системата означава това, за да разберете, че е последователна или непоследователна. Ако системата е непроменена - да намери своето общо решение. Двете системи. казва, че е еквивалентна или еквивалент. ако те имат една и съща общото решение. С други думи, системите са еквивалентни, ако всяко решение, един от тях е решение на другата и обратно.
Еквивалентни системи са получени по-специално, когато системата елементарни трансформации. При условие, че реализациите се извършват на редовете на матрицата само.
Системата на линейни уравнения се нарича хомогенна. Ядохме всички постоянни срокове са равни на нула. Хомогенна система винаги е в съответствие, като Х1 = Х2 = Х3 ... Xn = 0 е разтвор. Това решение, наречен нула или тривиално.
Относно: решаване на системи линейни уравнения. Теорема KRONIKERA акапелна
Да се даде произволно система на м линейни уравнения в п неизвестни (вж. *).
Изчерпателен отговор на въпроса за съвместимостта на тази система се дава от Теорема Kronikera-Капели. Тази теорема ще се състои от 3 теореми:
1. Системата на линейни уравнения е съвместима единствено и само ако рангът на разширената система матрица е равен на ранга на ядрото на матрица. Правила за поведение на намирането на всички решения на система от линейни уравнения, получени от следните теореми
2. ако ранга на съвместната матрица на системата е неизвестна сила. Системата има уникално решение
3. Ако съвместна система за ранг е по-малко от броя на неизвестните, системата има безкраен брой решения
Условия за решения на произволна система от линейни уравнения:
1. Намерете ранга на основен и умножени матрицата, ако рангът на основната матрица на системата не е равен на ранга на разширената система, системата е в противоречие
2. ако рангът на системата е равен на ранга на разширената система и е равен на ранга (някои номер). Че системата е в съответствие. Намери никакво основание непълнолетен, за да се предприеме, за да уравненията на коефициентите, което е основната непълнолетния. Непознатите коефициентите, която е включена в основния непълнолетния, се нарича главницата и оставят в ляво, а останалата част от уравнението, останалите п - ранг неизвестен, наречен свободен, и прехвърлени на дясната страна на уравнението
3. намерени в основните условия на неизвестни чрез безплатно. Общо разтвор на системата
4. дават безплатни анонимни произволни стойности, които получаваме съответните основни неизвестни. По този начин, ние можем да намерим конкретно решение на оригиналната система от уравнения
Относно: ДЕЙСТВИЕ не-единствено число линейно система с формула Kramer
Предвид система от п линейни уравнения в п неизвестни (вж. *).
Основният матрица А, на системата - квадрат. В детерминанта на тази матрица
Тя се нарича детерминантата на системата. Ако детерминантата на системата е различна от нула, а след това системата не е дегенерат. Нека да се намери решение на системата, когато определящ фактор не е нула. Увеличаването двете страни на уравнение писано в матрица форма Ах = B * А А -1 -1 получи Ах = A -1 V. Тъй като експресията е Е (х) = х, ние получаваме х = A -1 V. Намирането разтвори на тази формула (1) се нарича разтвори матрична система.
Matrix уравнение се записва 1, както следва:
Разлагането на определящ фактор за елементите на първата колона, т.е. b1 умножена по допълнение. определящ # 916; 1. Тя получава чрез замяна на първата колона с коефициента на членовете на свободни колони.
- защото получава чрез заместване на N-тата колона. Колона на свободната елемент с формула
който се нарича формули Cramer.
И така, не-дегенеративен линейна система уравнения на п с п неизвестни има уникален разтвор, който може да се намери чрез матрично-1 Cramer формула 2.
Относно: Решаването на линейни уравнения от Гаус
Един от най-гъвкав и ефективен метод за решаване на системи алгебрични уравнения е метод Гаус се състои в последователно елиминиране на неизвестни. Като се има предвид система:
процес на вземане на метода на Гаус се състои от два етапа. В първия етап, който ще се нарече напред ход - системата се намалява до ешалон форма, по-специално за триъгълна:
AII фактор. Той призова главният елемент на системата. През 2 етапа, който се нарича - инсулт замяна. Той е съобразен дефиниция на този неизвестен система на скоростта.
Ние решаваме системата от Гаус:
Относно: система от линейни уравнения хомогенни
Предвид хомогенна система линейни уравнения:
хомогенна система от уравнения винаги е в съответствие и има нула решение.
За да се гарантира, че системата на хомогенна уравнение има nontrivial разтвор ако и само ако ранга на основната матрица е по-малко от броя на неизвестни (R За да се направи система хомогенна система на п линейни уравнения в н неизвестни имаше nontrivial решение, ако и само ако му детерминанта е нула. Относно: Елементи на вектор алгебра - В края на работата - Тази тема принадлежи на форума: Линейна алгебра. Елементи на линейна. ДЕЙСТВИЕ матрица алгебра с матрици. вектор модул. Теорема 2. Следствие 1. Следствие 2. Теорема 3. аналитична геометрия Трансформацията на координатната система. Общото уравнение на линията Уравнението на права линия, минаваща през дадена точка в дадена посока Уравнението на правата линия, минаваща през две точки Уравнението на линия, минаваща през точка перпендикулярно на даден вектор Нормално уравнение на линия Какво да правим с получения материал:
Всички теми на този раздел:
Дължината на вектора, то се нарича също модул. Модулът е скаларна стойност. вектор модул е показан от две вертикални линии - CL
Смесени обем proizvedenieravno паралелепипед конструирана на гласове на
. доказване. Скаларни продукт е комутативен, sledovat
Смесеният продукт е нула, ако и само ако векторите са копланарни. Относно: свойства на смесения продукт от вектори
Нека вектори имат координати в ортонормирана база
Относно: координатна система в равнината на координатната система на самолета разбира метода позволява описват цифрово позицията на точки на самолета. един от най-
Преминаването от една координатна система за всяка друга координатна система се нарича трансформация. Помислете за два случая на превръщане на една от правоъгълни системи
Да разгледаме първо уравнение степен по отношение на х и у обикновено Ах + С + С = 0, (2.4), където А, В, С - произволни числа, където А и В не са равни на нула, един
Да предположим, че линията минава през точка М (оксо, йо) и неговата посока се характеризира с ъглов коефициент к Уравнението на този ред могат да бъдат записани.
Да предположим, че линията минава през точката M1 (х1; Y1) и М2 (х2; y2). Уравнението на линията, минаваща през точката М1,
Намираме уравнението на правата линия, минаваща през дадена точка М (оксо, йо), перпендикулярна на тази ненулев вектор п = (А; В). Фигура 20
Нека правата линия се определя, като се посочва и р # 945;. Помислете правоъгълна координатна система Oxy. Представяме полярна система отне около час