Решение логаритмични уравнения

Логаритмична уравнение е уравнение в което неизвестното (х) и експресия са под знака на логаритмична функция. Решение логаритмични уравнения приема, че вече сте запознати с концепцията и вида на логаритми и основни формули.






Как да решим логаритмични уравнения?

Най-простият уравнението е Loga х = б. където А и В са определен брой, х - неизвестен.
Решение логаритмично уравнение е х = а б условие че: а> 0, 1.

Трябва да се отбележи, че ако х ще бъдат някъде извън логаритъм, например log2 х = 2, уравнението е вече смесен и призова за неговото решаване изисква специален подход.

Идеалният случай е, когато се намери уравнение, в което логаритъм са само цифри, като х + 2 = log2 2. Ето това е достатъчно, за да се знае свойствата на логаритмите за решаването му. Но този успех не се случва често, така че да бъдат подготвени за по-сложни неща.

Но първо, все пак, нека започнем с няколко прости уравнения. За решаването на тези проблеми, е желателно да имат обща представа за логаритмуване.

Решението е просто логаритмични уравнения

Те включват типа на уравнение х = log2 log2 на 16. просто око се вижда, че намаляването на логаритъм получаваме х = 16.

За да се реши по-сложна логистично уравнение, неговото обикновено води до решаване на конвенционален алгебрични уравнения или към разтвора на прост логаритмично уравнение Loga х = б. Простата формула се случва в едно движение, така че те се наричат ​​протозои.

Vysheispolzovanny метод за намаляване на логаритмите е един от основните начини за решаване на логаритмични уравнения и неравенства. В математиката, тази операция се нарича потенциране. Има определени правила и ограничения за такива операции:

• същото цифрова база в логаритми
• логаритми от двете страни на уравнението са на разположение, т.е. без каквито и да било други фактори и различни видове изрази.

Така например в уравнение х = log2 2log2 (1 х) потенциране е приложимо - коефициентът 2 отдясно не позволява. Следният пример log2 X + log2 (1 - х) = log2 (1 + х) е също един от ограниченията - оставени две логаритъм. Тук няма да има един - е друг въпрос!

В общи линии, чисти логаритми само при условие, че уравнението е:

Конзолите могат да бъдат напълно произволни изрази, за работата на потенциране абсолютно не е засегната. И след премахването на логаритми ще бъде просто уравнение - линейни, квадратно, експоненциално, и т.н. имате, надявам се, да бъде в състояние да реши.

Вземете още един пример:

Нанесете потенциране, получаваме:

Хайде. Нека да решим следния пример:

Въз основа на дефиницията на логаритъм, а именно, че регистър - това число, което е необходимо за изграждане на база, за да се получи експресия, която е логаритъм, т.е. (4, 1), получаваме:

Повече е въпрос на технология:

Отново получихме хубав отговор. Тук сме направили, без премахването на логаритми, но потенциране се прилага тук, защото като логаритъм може да се направи от всеки номер, и това е този, който ни трябва. Този метод е много полезен при решаването на логаритмични уравнения и неравенства в частност.

Ние решаваме нашите логаритмична уравнение log3 (2x-1) = 2 чрез потенциране:

Ние представлява числото 2 като логаритъм, например, като log3 9, от февруари 3 = 9.

Тогава log3 (2x-1) = log3 9 и отново да получите всички едно и също уравнение 2x-1 = 9. дано всичко да е ясно.

Така че ние погледна как да се реши прости логаритмични уравнения, които всъщност са много важни, тъй като решението на логаритмични уравнения. Дори и най-страшните и усукани в края на краищата винаги се свежда до решаване на прости уравнения.

Във всичко това, което направихме по-горе, ние не забравяме един много важен момент в бъдеще ще има решаваща роля. Фактът, че решението на някое от логаритмична уравнение, дори и най-основните, се състои от две равни части. Първо - разтвор на себе си, а вторият - работата с домейна на допустимите стойности (DHS). Това е само първата част ние сме усвоили. В горните примери DHS да отговаряте не влияе, така че ние го погледна и не го направи.

Но нека вземем друг пример:

Външно, това уравнение не се различава от елементарното, което може да бъде решен много успешно. Но това не е вярно. Не, ние със сигурност ще го реши, но най-вероятно погрешно, защото в него се крие една малка засада, която веднага хвана и troechniki и почести. Нека да разгледаме това по-близо.

Да речем, че трябва да се намери коренът на сумата от корените или, ако има няколко:

Нанесете потенциране, е допустимо. В резултат на това, ние получаваме по обичайния квадратно уравнение.

Ние намираме корените на уравнението:

Това се случи два корени.

На пръв поглед всичко е наред. Но нека да проверите резултата и да го замести в оригиналния уравнението.

Тестът е успешен, и сега всички х2 = 1:

Така че, спри! Външно, всичко е перфектно. И още нещо - логаритмите на отрицателни числа не съществуват! Това означава, че главната X = -1 не е подходящ за разтвори на нашия уравнение. И така, правилният отговор е 3, а не 2, както пише.

Това беше тогава, и изигра фатална роля на ДХС, които сме забравили.

Спомнете си, че зоната под валидните стойности се приемат такива стойности на х, които са активирани или имат значение за оригиналния пример.

DHS без никакво решение, дори и абсолютно правилно, всяко уравнение се превръща в лотария - 50/50.

Как ние сме в състояние да получите в решаването на пръв поглед елементарен пример? Но в момента на усилване. Логаритми изчезнаха, а с тях и всички ограничения.

Какво трябва да се направи? Да се ​​откаже от премахването на логаритми? И напълно да се откаже от решението на това уравнение?

Не, ние просто искал истинските герои на една от най-известната песен, отидете на отклонението!

Преди да започнете да отговорят на всякакви логаритмични уравнения ще бъдат записани DHS. Но едва след това можете да направите с нашето уравнение всичко, което си сърце желае. След получаване на отговор, ние просто да изхвърлите тези корени, които не са включени в нашия DHS, и пишат на окончателния вариант.

Сега се определи колко записа DHS. За да направите това, внимателно инспектира оригиналния уравнението и да гледам в съмнителни места, като разделят с х, в основата на още по степен и т.н. Досега не сме решили уравнението, ние не знаем - което е равно на х, но знам, че такива х, които, когато се заменят ще разделят с 0 или корен квадратен от отрицателно число, отговорът е определено в нищо добро. Поради това тези х неприемливи, а останалите ще бъдат TCC.

Отново се използва една и съща формула:

Както можете да видите, няма деление на 0, и квадратни корени, но има и изрази с логаритъм от х в организма. След това не забравяйте, че изразът е вътре в дневника, винаги трябва да има> 0. Това състояние и напиши DHS:

Т.е. ние не сме решили нищо, но записва предпоставка за всичко podlogarifmennoe изразяване. Брейс означава, че тези условия трябва да бъдат изпълнени едновременно.

DHS е записан, но също така е необходимо да се реши в резултат на системата на неравенството, какво ще правя. Ние получите отговор х> v3. Сега е известно, - това, което не ни е удобно. И тогава ние трябва да започнем решението на логаритмична уравнение, което направихме по-горе.

След получаване на отговорите x1 = 3 и x2 = -1, то е лесно да се види това, което ни устройва x1 = 3, и ще го напиша като краен отговор.

За в бъдеще, е важно да се помни следното: решението на каквито и да било логаритмични уравнения направи на 2 етапа. Първо - ние решим самата уравнението, а вторият - от решаващо условие за DHS. Двете фази се извършват независимо един от друг и само при писане съответства на отговор, т.е. Ние отхвърляме всички ненужни и пишат верния отговор.