Приемствеността функция - studopediya

Приемствеността на точката.

Функция. дефинирана в околност на точката. Той казва, че е непрекъсната в точката. ако границата на функцията и неговата стойност в този момент са равни, т.е.

Същият факт може да се запише по различен начин:

Ако функцията е дефинирана в околността на точката. но това не е непрекъсната в точката. той се нарича прекъсната функция, както и точката - една точка на прекъсване.

Пример непрекъсната функция:

Пример за прекъснат функция:

Функцията се нарича непрекъсната в точката. ако съществува за всяко положително число. че за всяко. отговаря на условието: неравенството.

Функцията се нарича непрекъсната в точката. ако стъпката е функция на безкрайно.

при което - при безкрайно.

Свойства на непрекъснатост.

1) сума, разлика и продукт на непрекъснатост в точка - функция, която е непрекъсната в точката;

2) съотношение между две непрекъснатост - непрекъсната функция при условие, че не е равна на нула в точка;

3) суперпозиция на непрекъснатост - е непрекъсната функция.

Този имот може да се запише по следния начин:

Ако - непрекъсната функция в точката. функцията - също е непрекъсната функция в този момент.

Валидността на горните свойства могат лесно да се докаже

С помощта на теоремата на граници.

Непрекъснатостта на някои елементарни функции.

1. Функция. - непрекъсната функция на целия домейн.

2. рационално функция е непрекъсната за всички стойности. с изключение на тези, в които знаменателя става нула. По този начин, функцията на този тип е непрекъснато на своя домейн.

3. тригонометричните функции са непрекъснати по своя домейн.

Нека да докаже собственост 3 за функцията.

Пишем нарастването на функцията. или след преобразуване:

Наистина, има лимит, а произведение на две функции. В този случай, функцията косинус - ограничена функция с. както и ограничи функцията синус. то е безкрайно малка.

По този начин, има ограничен работа функция от безкрайно следователно тази работа, т.е. функция - безкрайно. Според определенията обсъдени по-горе, както и функциите - непрекъсната функция за всяка стойност на домейна, защото си увеличаване в този момент - безкрайно.

прекъсне точки и тяхната класификация.

Помислете функция. непрекъсната в близост до точката. освен може би този въпрос. От гледна точка на определяне прекъсване функция, която е точка на прекъсване, когато функцията не е дефинирана в този момент дали или не е непрекъснат.

Трябва също да се отбележи, че непрекъснатостта на функцията може да бъде едностранно. Нека обясним това по следния начин.

Ако едностранно ограничение (см. По-горе). тогава функцията се нарича непрекъсната отдясно.

Една точка се нарича точка на прекъсване функция. ако не е определено в момента или не е непрекъсната в този момент.

Една точка се нарича точка на прекъсване на 1- вид. ако в този момент тя е краен, но не е равна на една от друга на лява и дясна граници:


За условията на тази дефиниция не се изисква да функция се определя в една точка. това е достатъчно, че тя се определя от ляво и дясно от него.

Точката се нарича точка на прекъсване на втори вид. Ако в този момент функцията има не по-малко един от едностранни граници, или най-малко един от тях е безкраен.

Пример 1. Дирихле функция (Peter Густав Дирихле (1805-1859) - немски математик, член-кореспондент на Петербургската академия на науките 1837)

Това не е непрекъсната във всяка точка x0.

Пример 2. Функцията има равновесна точка на втория вид, тъй като ,

Не е дефинирана функция в точката. но той има краен срок. т.е. на функцията има точка на прекъсване на първия вид. Той - за еднократна употреба точка разлика, защото ако ние се разшири функцията:

Графиката на тази функция:

Тази функция се нарича - знак. В точка не е дефинирана функция. защото ляв и десен граници са различни, тогава равновесната точка - 1-ви вид. Ако се разшири дефиницията на функцията в точката. поставяне. функцията е непрекъсната в дясно, ако си сложиш. функцията е непрекъсната в ляво, ако се сложи равен kakomu- произволен брой различни от 1 или -1, функцията няма да бъде непрекъсната, нито наляво, нито надясно, но във всички случаи, обаче, ще бъде на 1-ви вид празнина. В този пример, точката на прекъсване на първи вид не се вади.

По този начин, с цел да се направи точка на прекъсване на първи вид, че е избегната, е необходимо, че едностранната ограничава дясно и ляво са крайни и равен, и функцията ще бъде в този момент не е определена.

2.2. Продължителността на интервала и интервала.

Функцията се нарича непрекъснато на интервала (интервал). ако е непрекъснато във всяка точка на интервала (интервал).

То не изисква непрекъснатост на краищата на сегмента или интервал необходимостта само еднопосочен непрекъснати върху интервала или интервал краищата.

Свойства на функции непрекъснато на интервал.

Пропърти 1. (Първи Вайерщрас теорема (Veyershtrass Карл (1815-1897) - немски математик)). Функцията е непрекъсната върху интервала оградена на този сегмент, т.е. състоянието на сегмента:

Доказването на това имущество се основава на факта, че една непрекъсната функция в точката. оградена в квартал, а ако един сегмент се раздели на безкраен брой отсечки, които се "свиват" до точка. Той ще генерира точка квартал.

Property 2. Непрекъсната функция на интервала. Това отнема максимални и минимални стойности.

Т.е. и съществуват ценности. това. , когато:

Забележка. Тези максимални и минимални стойности на функция може да отнеме по няколко пъти на сегментите (например -).

Разликата между най-голямата и най-малката стойност на функцията на интервал, наречен функциите на трептене на интервал.

Property 3. (Теорема Второ Болцано Коши е). Непрекъсната функция на интервала. Това отнема на този сегмент всички стойности между две произволни стойности.

Property 4. Ако функцията е непрекъсната в. тогава там е квартал на. при които функцията запазва своя знак.

Имоти 5. (Първият теоремата на Болцано (1781-1848) - Cauchy). Ако функцията - непрекъснато в интервала и в краищата на стойностите на сегмент с противоположни знаци, тогава има точка в този сегмент, където.

Функцията се нарича равномерно непрекъснато на интервала. ако по някаква съществува такова, че за всички пунктове, и такава, че неравенството

униформа приемственост контраст с "нормално" е, че за всичко, което притежават. Тя не зависи от. и в "нормално", зависи от продължителността и.

Имотът се намира на 6. Теорема на Кантор (Cantor, Георг (1845-1918) - немски математик). Функцията е непрекъсната по затворен интервал е равномерно непрекъснато върху него (това свойство е валидна само за сегментите, отколкото интервали половин интервали).

Функцията е непрекъсната върху интервала. но това не е равномерно непрекъсната, защото Съществува такъв, че има ценности и такова, че ï- неограничен брой при условие, че са близо до нула.

Имоти 7. Ако функцията се определя, монотонно и непрекъснато на някои интервал, след това си обратен е еднозначна, монотонно и непрекъснато.

Пример 6. Изследване на функцията за приемственост и се определи вида на точки за пробив, ако има такива.

въпросът е непрекъсната в точка на прекъсване на първия вид

Пример 7. Изследване на функцията за приемственост и се определи вида на точки за пробив, ако има такива.

въпросът е непрекъсната в точка на прекъсване на първия вид