Изчисление на определени интеграли
Свойствата на определен интеграл:
1) Ако $ е (х) \ GEQ $ 0 в $ интервала [а, Ь] $ след $ \ Int \ limits_a ^ BF (х) DX \ GEQ 0. $
2) Ако $ е (х) \ екв г (х) $ на $ [а, Ь] $ е $ \ Int \ limits_a ^ BF (х) \, DX \ екв \ Int \ limits_a ^ бг (х) \, DX. $
4) Ако $ е (х) $ непрекъснато на $ [а, Ь] \, \, т - $ малката, $ М - $ голямото стойности $ е (х) $ на $ [а, б], $ след $ $ т (ба) \ екв \ Int \ limits_a ^ BF (х) \, DX \ екв m (ба) $$ (теорема на оценката на определен неразделна).
5) Ако $ е (х) $ е непрекъсната и $ г (х) $ интегрируеми на $ [а, Ь] \, \, г (х) \ GEQ 0. $ $ m $ и $ М - $ малката и голямото стойности $ е (х) $ на $ [а, б], след това $ $$ т \ Int \ limits_a ^ бг (х) \, DX \ екв \ Int \ limits_a ^ BF (х) г (х) DX \ екв M \ Int \ limits_a ^ бг (х) \, DX. $$ (генерализирана теоремата за оценка на определен неразделна)
6) Ако $ е (х) $ е непрекъсната върху $ [а, Ь] $ тогава съществува точка $ С \ в (а, Ь), $, че равенството $$ \ Int \ limits_a ^ BF (х) DX = F (в) (ба). $$ (средна стойност теорема)
Брой $ е (C) = Frac \ Int \ \ limits_a ^ BF (х) \, DX $ нарича средната стойност на функцията $ F на (х) $ в $ интервала [а, Ь]. $
7) Ако $ е (х) $ е непрекъснат и е интегрируеми на $ [а, Ь] $ и $ г (х) \ GEQ 0 $ съществува точка $ С \ в (а, Ь), $, че равенството $ $ \ Int \ limits_a ^ BF (х) г (х) DX = F (в) \ Int \ limits_a ^ бг (х) DX $$ (генерализирана средна стойност теорема).
9) Интегрирането на четна и нечетна функция в симетричен обхват. Ако функция $ е (х) $ е още, след $ \ Int \ limits_ ^ ае (х) DX = 2 \ Int \ limits_0 ^ ае (х) DX. $ Ако функция $ е (х) $ е странно, след $ \ Int \ limits_ ^ ае (х) DX = 0. $
10) Ако функция $ F на (х) $ непрекъснато на $ [а, Ь] $ цяло с променлива горната граница $$ \ Phi (х) = \ Int \ limits_a ^ XF (т) DT $$ е примитивен за функция $ е (х), $ т.е. $$ \ Phi '(х) = (\ Int \ limits_a ^ х е (т) DT)' = F (х), \ четири х \ в [а, Ь]. $$
11) Ако функция $ \ Фи на (х) $ и $ \ ИОС (х) $ диференцируема в $ х \ в (а, Ь) $ и $ е (т) $ непрекъснато за $ \ Фи (а) \ екв т \ екв \ ИОС (б), тогава $ $$ \ наляво (\ Int \ limits_ ^ е (т) DT \ дясно) _x '= F (\ ИОС (х)) \ ИОС' (х) -f (\ Фи (х)) \ Фи "(х). $$
6.364. а) Определяне на интегрална знак, а не да го изчисли: $ \ вътр \ limits_ ^ 1 \ SQRT [3] \, DX $.
Тъй като функция $ \ SQRT [3] х $ нечетен $ (\ SQRT [3] = - \ SQRT [3] х), $ след това, като се използва 9-т имота получава $ \ Int \ limits_ ^ 2 \ SQRT [3] \ , DX = 0. $ вече използват равенството $$ \ Int \ limits_ ^ 1 \ SQRT [3] \, DX = \ Int \ limits_ ^ 2 \ SQRT [3] \, dx- \ Int \ limits_ ^ 2 \ SQRT [ 3] \, DX = - \ Int \ limits_ ^ 2 \ SQRT [3] \, DX $$.
Ясно е, че $ \ SQRT [3] х> 0 $ с $ х \ в [1, 2]. $ Следователно, от първите свойства на определени интеграли следва, че $ \ Int \ limits_ ^ 2 \ SQRT [3] \, DX> 0. Следователно $, $$ \ Int \ limits_ ^ 1 \ SQRT [3] \, DX = - \ Int \ limits_ ^ 2 \ SQRT [3] \, DX<0.$$
6.365. б) Без изчисляване интеграли, да разберете коя от неразделна над $ \ INT \ limits_1 ^ 2 \ Фрак $ или $ \ вътр \ limits_1 ^ 2 \ Фрак. $
Ние използваме втория собственост на определени интеграли. На сегмент $ [1, 2] $ отговаря на неравенство $ \ Frac \ GEQ \ Frac $ потвърждават това: .. $$ \ Frac \ GEQ \ Frac \ стрелкаНадясно х ^ 3 \ GEQ х ^ 2 \ стрелкаНадясно х \ geq1 $$ Следователно , $$ \ Int \ limits_1 ^ 2 \ Frac \ GEQ \ Int \ limits_1 ^ 2 \ Frac. $$ строго неравенство се получава лесно чрез въвеждане дефинира като сумата на интегралите $$ \ Int \ limits_1 ^ 2 \ Frac = \ Int \ limits_1 ^ \ Frac + \ Int \ limits_ ^ 2 \ Frac; $$ $$ \ Int \ limits_1 ^ 2 \ Frac = \ Int \ limits_1 ^ \ Frac + \ Int \ limits_ ^ 2 \ Frac $$ На $ [1, 3 /. 2] $, неравенството $$ \ Frac \ GEQ \ Frac \ стрелкаНадясно \ Int \ limits_1 ^ \ Frac \ GEQ \ Int \ limits_ ^ 2 \ Frac; $$ на $ сегмента [3/2, 2] $, неравенството $$ \ Frac> \ Frac \ стрелкаНадясно \ Int \ limits_1 ^ \ Frac> \ Int \ limits_ ^ 2 \ Frac. $$ Следователно $$ \ Int \ limits_1 ^ 2 \ Frac = \ Int \ limits_1 ^ \ Frac + \ Int \ . limits_ ^ 2 \ Фрак> \ вътр \ limits_1 ^ \ Фрак + \ вътр \ limits_ ^ 2 \ Фрак = \ вътр \ limits_1 ^ 2 \ Фрак $$ Отговор: $ \ вътр \ Лим its_1 ^ 2 \ Фрак> \ вътр \ limits_1 ^ 2 \ Фрак. $
6366. в) Виж средната стойност на функцията на даден интервал: $ \ COS х \ четири 0 \ екв х \ екв \ пи / 2. $
Ние използваме най-шестата черта на определени интеграли. Средната стойност на $ е (х) $ в $ интервала [а, Ь] $ ч брой наречен $ е (C) = \ limits_a ^ BF (х) \, DX. $ Frac \ Int \
Ние се оцени подинтегрален:
$$ - 1 \ екв \ грях х \ екв 1 \ стрелкаНадясно $$ $$ 3 \ 5 екв + 2 \ грях х \ екв 7 \ стрелкаНадясно $$ $$ \ SQRT 3 \ екв \ SQRT \ екв 7 \ стрелкаНадясно $$ $ $ \ Фрак \ екв \ Фрак> \ екв \ Фрак. $$
От това и втората собственост на определен интеграл следва, че
6.370. б) Оценка на интегрална $ \ INT \ limits_0 ^ 1 \ SQRT \, DX, $ използване на неравенството на Коши-Шварц.
Изчисляваме всяка интегрална стоящи в основата на дясната страна на уравнението:
6374. Намери производно със следната функция: $ \ Phi (х) = \ Int \ limits_0 ^ х \ Frac \, DT $.
Използване на свойствата на 10:
6376. Намери производно със следната функция: $ \ Phi (х) = \ Int \ limits_x ^ 0 \ Frac> $.