Глава 6 решаване на задачи от линейната алгебра, оптимизация и регресия
Разтворът на проблеми от линейната алгебра, оптимизация и регресия
Проблеми на линейна алгебра, оптимизация и регресия - един от най-популярните в областта на науката, технологиите и образованието [37, 39-46]. Те са предмет на тази глава. Тя дава основните определения от линейната алгебра, основи на работа с масиви, вектори и матрици, функции за работа с вектори и матрици и за решаване на системи линейни уравнения. Описанието на средства за оптимизация, включително най-новата Maple 10 система.
Преди да се обърнат към необятните възможности на Мейпъл пакети за решаване на задачи на линейното алгебра, обърнете внимание на кратки определения, свързани с нея.
Матрицата (m х п) - триизмерна правоъгълна маса, съдържаща м редове и п колони от елементи, всеки от които могат да бъдат представени от редица, постоянно, променливо или символично математически израз (широка интерпретация матрица).
Квадратна матрица - матрица, в която числото м редове равен на броя N на колони. Пример квадратна матрица размер 3 х 3:
В детерминанта на матрицата - полином в елементите на квадратна матрица, всеки член на която е продукт на п елементи, взети един по един от всеки ред и всяка колона на знака на продукта, зададени за паритет пермутация:
където М1
Единични (дегенеративен) матрица - квадратна матрица, чиято детерминанта (детерминантата) е 0. Такава матрица обикновено не е опростена със символично изчисление. Линейни уравнения с почти единични матрици могат да произвеждат големи грешки в разтвора.
матрица идентичност - е квадратна матрица, чиито диагоналните елементи са равни на 1, а останалите елементи са 0. По-долу е идентичност матрица от 4 х 4:
Единичните стойности на матрицата А - квадратни корени на собствените стойности на матрицата транспониране (А), # 8729; А, където транспозицията (A) - транспонирана матрица А (виж определението под него.).
В транспонирана матрица - матрица, чиито редове и колони са разменени, т.е. транспонирани матрични елементи отговарят на условието A T (I, J) = A (J, I). Ето един прост пример.
Обратното матрицата - матрица от М-1. който, когато умножена по оригинален квадратна матрица М дава матрицата идентичност Е.
В пристъпи формата на матрица съответства на състоянието, където първата ненулева елемент във всеки ред е 1 и първата ненулева елемент показва отдясно на всеки ред от първата ненулева елемент в предишния ред, т.е. всички елементи под първата ненулева ред - нули.
Диагонална матрица - разположени диагонално елементи Ai, Аз на матрица А. Матрицата долу диагоналните елементи са представени с главни букви:
Обикновено споменатата диагонална наречен основен диагонал - за матрица А, по-горе, е диагонал с елементи А, Е и L. понякога въвежда концепция poddiagonaley (елементи г и к) и naddiagonaley (компоненти В и F). Matrix, чиито елементи са подредени всички с изключение на диагонал, а subdiagonal naddiagonali са равни на нула, се нарича лента.
Рангът на матрицата - най-големият от заповедите на ненулеви непълнолетни лица на квадратна матрица.
Трейс на матрицата - сумата на диагоналните елементи.
Матрицата в целия степента - квадратна матрица в степен п (п - неотрицателно цяло число) определя, както следва: E = M0. M1 = М. M2 = ММ, ..., Mn = Mn-1M.
Idempotent матрица - матрица съответстващ състояние R² = F.
Симетричната матрица - матрица, съответстваща на състояние А = Am.
Антисиметрична матрица - матрица, съответстваща състояние Am = -А.
Ортогонално матрица - матрица, съответстваща на състояние А = Am-1.
Нула матрица - матрица, чиито елементи всички са равни на 0.
Блок матрица - матрица, съставена от матриците с по-малък размер, могат също да бъдат представени като матрица, където всеки елемент - матрица. Специфичен случай е блок диагонална матрица - матричен блок, елементи от които матрица е диагонална - нула матрица.
Комплекс-конюгат матрица - матрица # 256. получени от оригиналната матрица чрез заместване на нейните елементи от комплекс конюгат.
Hermitian матрица - матрица за удовлетворяващо # 256; = Am.
На собствения вектор квадратна матрица А - всеки вектор х ∈Vn. х ≠ 0 удовлетворява уравнението Ах = # 947; и. където # 947; - редица нарича собствена стойност на А.
Характерните полином на матрицата - детерминанта на разликата между матрицата и матрицата на идентичност умножена с променлива полином - | А - # 947 Е |.
Собствените стойности - корените на характерната полином.
Норма - обща представа за абсолютната стойност на числото.
Dimensional вектор норма || х || - дължината му.
Матрицата Норм - стойност SUP (|| Ах || / || х ||).
Матрицата се образува система линейни уравнения - експресия A # 8729; X = Б. където А - матрица на коефициентите, X - вектор на неизвестни и Б - вектор, на свободни членове. Един метод за решаване на такава система е очевидно - X = A -1 # 8729; В. където А 1 - обратна матрица.
Както знаете, обичайната система на линейни уравнения е от вида:
Тук a1,1. a1,2. ..., един, Н - фактори, които съставляват матрицата, и които могат да бъдат реални или комплекс ценности, x1. x2. ... HN- неизвестен, образуват вектор X и b1. b2. ..., милиарда - свободни членове (реален или сложни), образуващи вектор V. Тази система може да бъде представен под формата на матрица, като Ах = Б. където А - коефициентът матрицата на уравненията, X - неизвестната вектора на неизвестни и Б - вектор, на свободни членове. От това представителство система линейни уравнения, произтичащи различни методи за неговото разтвор: X = В / А (с използване на разделяне матрица), X = A-1В (обърната матрица А) и така нататък.
В хода на решаване на задачи от линейната алгебра, често е необходимо да се използват различни методи, като например добре известен още от училище Gaussian елиминиране. Въпреки това, за да се справи ефективно с тези проблеми е необходимо да се представят на матрицата по специален начин, носещ разлагане на матрицата. В хода на това, че трябва да работи с някои специални видове матрици, които често драстично опростява решаването на системи линейни уравнения. Нека да спомена някои от най-често срещаните матрица разлагане, които се изпълняват в най-SKA и СИМ.
LU-разлагане, наричан също триъгълни разлагане съответства на експресията на матрица Р # Формата 8729; A = L # 8729; U. където L - и долната U - горна триъгълна матрица. Всички матрици в този израз на квадрат.
QR разлагане под формата А = Q # 8729; R. където Q - ортогонална матрица, а R - горна триъгълна матрица. Това разширяване често се използва за решаване на всяка система за линейни уравнения, включително неопределена и underdetermined и с правоъгълна матрица.
Разлагане HoletskogoA = L # 8729; LT се прилага към симетрична матрица а, където L - триъгълна матрица.
А разлагане по особена стойност на размера на матрицата М х N (М х N) се дава с А = U # 8729; и # 8729; VT. където U и V - ортогонална матрица размер N х N и М х М. съответно, на S - диагонална матрица на особените стойности по диагонала на матрицата А.
Елементи на вектори и матрици в клен са индексирани променливи, т.е., местоположението на всеки елемент на вектора се определя от индекса и матрицата - двата индекса. Обикновено те са колективно означени като I (брой матрица ред или последователност на броя на вектор елемент) и к (брой матрица колона). Допустимо операция повикване желаната опция и присвояването на нова стойност към него:
V [Ь] - покана-тото елемент на вектор V;
М [Ь, й] - покана матрица М елемент разположени на и-ти ред в J- тата колона.
V [Ь]: = х - задаване на нова стойност х-тото елемент на вектор V;
М [Ь, й]: = х - х задаване на нова стойност елемент матрица М.
На първо място, ние трябва да обърнем внимание на факта, че вектор и матрица, въпреки че подобни на списъците, но не и напълно идентифицирани с тях. Това може да се види от следващите примери (файл vmop), в които тип се използва за наблюдение на множество видове предмети (вектори и матрици)