Основни методи за интегриране, изчисляване на интеграли он-лайн, интеграцията на части
Определяне неразделна определени и неопределени неразделна интеграли на маса, основните теорема формулата, интеграцията с части, примери за изчисляване на интеграли, сметачни интегралите он-лайн.
В Неопределен интеграл
Функцията F (х) е диференцируема в даден интервал X, наречен примитивна функция е (х), или на интеграл на е (х), ако за всяко х ∈X равенство:
Намиране на всички примитиви за тази функция се нарича своята интеграция. Неопределен неразделна функция е (х) в даден интервал X е множеството от всички функции примитивите за функцията F (х); предназначение -
Ако F (х) - всяко pervobraznaya на функцията F (х), след това ∫ е (х) DX = F (х) + С (8.2)
където С е произволно постоянна.
интеграли на маса
Директно от определението получаваме основните свойства на неопределен интеграл и списъкът таблица на интеграли:
3) ∫af (х) DX = a∫f (х) DX (а = конст)
4) ∫ (е (х) + г (х)) DX = ∫f (х) DX + ∫g (х) DX
Списък на таблични интеграли
1. ∫x m DX = х m + 1 / (М + 1) + С; (М ≠ -1)
3.∫a х DX = а х / LN а + С (> 0, а ≠ 1)
4.∫e х DX = д х + C
5.∫sin х DX = cosx + C
6.∫cos х DX = - SIN х + C
7. = arctg х + C
8. = arcsin х + C
Смяна на променливата
За интеграцията на много функции използват метода на смяна на променливата, или замяна, позволява на устройството да таблични интеграли.
Ако F функция (Z) е непрекъсната върху [α, β], функцията Z = г (х) има на [а, Ь] непрекъснат производно и α ≤ г (х) ≤ β, тогава
∫ е (г (х)) G '(х) DX = ∫f (Z) DZ, (8.3)
където след интегриране на дясната страна трябва да се направи смяна Z = г (х).
Достатъчно е да се напише оригиналния интеграл под формата на:
∫ е (г (х)) G '(х) DX = ∫ е (г (х)) DG (х).
Методът за интегриране по части
Нека U = е (х) и V = грам (х) - функция с непрекъснати производни. След това, в съответствие с правилото за диференциране на даден продукт,
г (UV)) = UDV + VDU или UDV = г (UV) - VDU.
За да се експресира г (UV) примитивни, очевидно, че ще UV, така че имат формулата:
∫ UDV = UV - ∫ VDU (8.4.)
Тази формула изразява върховенството на интегриране по части. Тя води интегрирането на изразяване UDV = uv'dx за интегриране на изразяване VDU = vu'dx.
Да предположим, че искате да намерите ∫xcosx DX. Нека U = х, DV = cosxdx, така че дю = DX, V = sinx. след това
∫xcosxdx = ∫x г (син х) = х грях х - х ∫sin DX = х + х грях cosx + C.
Правилото за интегриране по части има по-ограничен обхват, отколкото смяната на променлива. Но има и цели класове от интеграли, например,
∫x к LN m xdx, ∫x к sinbxdx, ∫ х к cosbxdx, ∫x к д брадва и други, което се изчислява чрез интегриране на части.
определен интеграл
Концепцията за определен интеграл се въвежда по следния начин. Нека интервала [а, Ь] дефинира функция е (х). Разделете интервала [а, Ь] за п броя точки а = x0
F функцията (х), в този случай се нарича интегрируеми на интервала [а, б], от А и В се нарича долна и горна граница на интеграла.
За определен интеграл имаме следните свойства:
4), (к = конст, k∈R);
Последното свойство се нарича средната теорема стойност.
Нека е (х) е непрекъсната върху [а, Ь]. Тогава там е неопределен интеграл на този интервал
∫f (х) DX = F (х) + C
и ние имаме формулата основните теорема. cvyazyvayuschaya определен интеграл с несигурно:
Геометрична Тълкуване: определен интеграл е площта на извитата трапец, ограничена от горната крива у = F (х), X = пряка и х = б и сегмента Ox ос.
неправилни интеграли
Интеграли с безкрайни граници и интеграли на прекъснати (несвързани) функции се наричат неправилни. Неправилни интеграли на тип I - е неразделна част от безкрайната интервал, определя, както следва:
Ако тази граница не е ограничен, наречен конвергентна неадекватно интеграл е (х) в интервала [а, + ∞), и F на функция (х) се нарича интегрируеми на безкраен интервал [а, + ∞). В противен случай, за интеграл се каже, че той не съществува, или се отклонява.
Подобно неправилни интеграли се определят на интервали (-∞, б] и (-∞, + ∞):
Ние се дефинира понятието интеграл от неограничена функция. Ако е (х) е постоянно за всички стойности на х интервал [а, б], с изключение на точка С, където е (х) има един безкраен празнина, неправилното неразделна II вид е (х) в диапазона от А до В е сумата от:
Ако тези граници и са ограничени. обозначение:
Примери за изчисляване на интеграли
Пример 3.30. Изчислява ∫dx / (х + 2).
Решение. Нека т = х + 2, след това DX = DT, ∫dx / (х + 2) = ∫dt / т = LN | т | + С = LN | х + 2 | + C.
Пример 3.31. Намери ∫ tgxdx.
Решение. ∫ tgxdx = ∫sinx / cosxdx = - ∫dcosx / cosx. Нека т = cosx, след ∫ tgxdx = -∫ DT / т = - LN | т | + С = -ln | cosx | + C.
Primer3.32. Намери ∫dx / sinx
Primer3.34. Намери ∫arctgxdx.
Решение. Ние интегрираме по части. Ще означаваме ф = arctgx, DV = DX. След дю = DX / (х 2 1), V = х, където ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx / (х 2 1) = xarctgx + 1/2 LN (х 2 1) + С; защото
∫xdx / (х 2 1) = 1/2 ∫d (х 2 1) / (х 2 1) = 1/2 LN (х 2 1) + С
Primer3.35. Изчислете ∫lnxdx.
Решение. Прилагането на интеграцията на части, получаваме:
U = лорноксикам, DV = DX, Du = 1 / х DX, V = х. След ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1 / х DX =
= Xlnx - ∫dx + С = xlnx - х + C.
Primer3.36. Изчислете ∫e х sinxdx.
Решение. Ще означаваме ф = д х. DV = sinxdx, след дю = д х DX, V = ∫sinxdx = - cosx → ∫ д х sinxdx = - д х cosx + ∫ д х cosxdx. Интеграл ∫e х cosxdx също се интегрират по части: U = д х. DV = cosxdx, Du = д х DX, V = sinx. В момента има:
∫ д х cosxdx = д х sinx - ∫ д х sinxdx. Съотношение получи ∫e х sinxdx = - д х cosx + д х sinx - ∫ д х sinxdx, където 2∫e х sinx DX = - д х cosx + д х sinx + C
Primer3.37. Изчислява J = ∫cos (лорноксикам) DX / х.
Решение. Тъй DX / х = dlnx, тогава J = ∫cos (лорноксикам) г (лорноксикам). Смяна лорноксикам чрез т, ние пристигат в табличен неразделна J = ∫ costdt = Sint + С = грях (лорноксикам) + C.
Primer3.38. Изчислява J =.
Решение. Тъй = г (лорноксикам), производство на лорноксикам заместване = трет. След J =.
Primer3.39. Изчислете интегрални J =.
Primer3.40. Възможно ли е да се приложи формулата на Нютон-Лайбниц до интеграла?
Решение. Не, не можеш. Ако формално се изчисли тази неделима от Нютон-Лайбниц формула, получаваме грешен резултат. Всъщност, =.
Но подинтегрален функция F на (х) => 0, и следователно, интеграл не може да бъде с отрицателна стойност. Основният проблем се състои в това, че подинтегрален F (х) = е безкраен прекъсване при х = 4, принадлежащи към интервала на интеграция. Следователно тук основните теорема формула неприложими.
Primer3.41. Изчислете интеграл.
Решение. В подинтегрален се определя и постоянно за всички стойности на х и следователно има примитивен F (х) =.
По дефиниция, ние имаме: =.
Според формулата основните теорема,
Изчисление на интеграли он-лайн
Правила за въвеждане на функции: SQRT (х) - корен квадратен, cbrt (х) - коренът на куб, Годен (х) - показател, LN (х) - естествен логаритъм, грях (х) - задължително, COS (X) - защото, тен (х) - тен, кошче (х) - котангенс, arcsin (х) - аркуссинус, ARccOS (х) - аркускосинус, ArcTan (х) - аркустангенс. Признаци: * умножение / деление ^ степенуване вместо безкрайност Infty. Пример: функцията се въвежда така SQRT (тен (х / 2)).
И ако в прозореца на резултат, кликнете върху Показване на стъпките в горния десен ъгъл, ще получите подробна решение.