Интерполация на функции - Математика

4. Нютон разделен различия с

5. сплайн интерполация

Цел: да се изследва и сравнителен анализ на методите за интерполация функции; прилагането на тези методи под формата на компютърни програми на език на високо ниво и практическо решение на проблемите на интерполация на компютър.

При разработването на софтуер CAD често трябва да се справят с F на функции (х), дава под формата на таблици, известен като ограничен набор от стойности на аргумент и съответните стойности на функцията. Аналитичният израз за F функция (х) не е известно, че не позволява да се определят стойностите на междинните точки на аргумента отсъстват в таблицата. В този случай, проблемът е решен интерполация, който е формулиран, както следва.

На интервала [а, Ь] п + 1 даден точки x0. x1. хп. наречени интерполация възли и стойностите на функция е (х) при тези точки е (x0) = Y0. F (х1) = Y1. F (хп) = ин. Задължително за конструиране интерполация функция F на (х), възли интерполация получават същите значения, както е (х), т.е. така че F (x0) = Y0. F (х1) = Y1. F (хп) = ин.

Геометрично, това означава, че е необходимо да се намери крива Y = F (х) на определен вид, който преминава през даден Mi (XI. Yi) точкова система за I =. Така полученият интерполация формула Y = F (х) обикновено се използва за изчисляване на първоначалните стойности на F функция (х) за стойности на аргумент х, интерполация, различна от възли. Тази операция се нарича интерполация функция е (х). Различават се интерполира в тесния смисъл на думата, когато х принадлежи на интервала [x0. Xn] и екстраполация, ако х не принадлежи на този интервал.

В такава обща декларация на проблема с интерполация може да има безкраен брой решения. За да се получи една функция F (х), ние трябва да приемем, че тази функция не е произволно, и удовлетворява определени допълнителни условия.

В най-простия случай се предполага, че връзката у = F (х) във всеки интервал (XI. Xi + 1) е линейна. След това, за всеки сегмент (XI. Xi + 1) интерполация формула Y = F (X) като се използва уравнение на линия, минаваща през точка Mi (XI. Yi) и Mi + 1 (XI + 1. Yi + 1), която има изглед

Когато програмиране линейна интерполация процедури трябва да се има предвид, че в процеса на решаване на проблема с интерполация като се използва формулата (1) включва две стъпки: интервал избор (XI XI + 1), който притежава стойност на аргумент X; всъщност изчисляване на стойност Y = F (х) с формула (1).

На практика, тъй като функцията за интерполация F (х) обикновено се използва алгебрични полином

степен не превишава п, така че Pn (x0) = Y0. Pn (х1) = Y1. Pn (хп) = ин. Най-известни методи за конструиране на интерполиране полином Pn (X) са метода Lagrange, итеративни и разликата методи.

1. Lagrange формула

Lagrange интерполация формула позволява изграждането на алгебрични полином Pn (х) за произволен набор от интерполация възли. За п + 1 различни стойности на аргумент x0 на. x1. хп и съответните стойности на F (x0) = Y0. F (х1) = Y1. F (хп) = ин Lagrange интерполация формула е на формата

,

където х - стойност на аргумента функция, разположен в интервал [x0. хп].

Трябва да се отбележи, че формула на Лагранж, за разлика от други интерполация формули, ясно съдържа ай (и =), понякога е важно.

Пример 1 Конструкция Lagrange интерполация полином на функцията дадени в следващата таблица.

За случая на четири точки интерполация (п = 3) Lagrange полином е представена, както следва:

Подмяна променливи XI. ил (I =) техните числени стойности, ние получаваме интерполация полином

Lagrange интерполация формула се свързва с голям обем изчисления, значителна част от които се повтаря при получаването на няколко Pn (х) стойности за една функция е (х). В случая, когато формула Lagrange се използва за получаване на множество стойности на функцията за различни стойности на аргумента, че е възможно да се намали значително количеството на изчисление. За тази формула Lagrange представени като

където - Лагранжевите коефициенти, определени като

Изчисление на Лагранж коефициенти се извършва по следния начин, удобен, когато използвате компютър. Таблица с разлики:

Произведението елементи и-ти ред е обозначен с Ki. Следователно Лагранжевите коефициенти се изчисляват по формулата

където Pn + 1 (х) = (х - x0) (х - х 1) ... (х - хп) - продукт на елементите на основната диагонала на таблицата (тези елементи са подчертани). Тогава формула на Лагранж е под формата:

Използване на формула (2) дава възможност за намаляване на значителна част от изчисленията за определяне на коефициент Lagrange Li (N) (х) за различни стойности на аргумента. За тази цел, продуктът от елементи и-ти ред е представен като разлика маса Ki = (х - XI) Ди където Ди - е продукт на всички договорени покупки с изключение намира на главния диагонал. Стойността Ди (и =) не зависи от стойността на аргумента х, и може да се изчисли само веднъж за дадена функция.

Прочетете повече: интерполация схема Aitken

Информация за работа "интерполация на функции"

Категория: Математика
Брой знаци с интервалите: 15031
Брой на маси: 3
Брой изображения 3